После окончания Тверской гимназии поступил в 1829 г. в Санкт-Петербургский главный педагогический институт, в котором обучался шесть лет, в основном под руководством Фридриха Грефе. В 1836 г. А. И. Менщиков был командирован в Берлин, где слушал лекции Августа Бекка, Иммануила Беккера, Карла Лахманна, К. Цумпта, Дройзена и других профессоров. По возвращении из Германии в 1839 г. А. И. Менщиков был назначен преподавателем в Главный педагогический институт, но в том же году переведен на кафедру греческого языка в Московском университете, в котором служил до 1866 г., преподавая историю греческой литературы, греческие древности, греческую и римскую метрику и читая не только древних греческих авторов, но и писателей византийского периода.

Из научных трудов А. И. Менщикова известны прежде всего его докторская диссертация «In Platonis dialogum qui inscribitur Cratylus dissertatio» (М., 1849), а также произнесенная и напечатанная в 1849 г. актовая речь «De eruditione et re litteraria Graecorum aetate Byzantinae». К столетнему юбилею Московского университета А. И. Менщиков составил на древнегреческом языке гекзаметром торжественный гимн (cм.: Столетний юбилей Московского университета. М., 1855. С. 97-98).